Question

（09年西城区抽样文）（14分）

   已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点在映射f下的象为点，记作.

设，,. 如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆. 特别地，当时，则称点为映射f下的不动点.

若点在映射f下的象为点.     

(Ⅰ) 求映射f下不动点的坐标；

     (Ⅱ) 若的坐标为(2,2)，求证：点存在一个半径为2的收敛圆.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：设不动点的坐标为，

    由题意，得，解得，

    所以此映射f下不动点为.                      -----------------------4分

  （Ⅱ）证明：由，得，                --------------------6分

    所以，

    因为，

    所以，                     

    所以，                     --------------------------8分

    由等比数列定义，得数列N^*)是公比为-1，首项为的等比数列，

    所以，则.     --------------------------10分

    同理 .                                     

所以 .                 -----------------------11分

    设，则，             ------------------12分

    因为 ，

    所以，

所以.

    故所有的点都在以为圆心，2为半径的圆内，

即点存在一个半径为2的收敛圆.                  ---------------14分