Question

已知圆.

（1）设点是圆C上一点，求的取值范围；
（2）如图，为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足求的轨迹的内接矩形的最大面积.

Answer 1

解：（文）（1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为，

即；……2分
由得，解得，…………………5分
从而所求的切线方程为，.…………………6分
（2）
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………………8分
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.………………12分
且椭圆长轴长为焦距2c="2.  "
∴点N的轨迹是方程为………………………………………14分
（理）（1）∵点在圆C上，∴可设；………2分
，…………………………4分
从而.…………………………………………6分
（2）
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……………………………8分
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.…………10分
且椭圆长轴长为焦距2c="2.  "
∴点N的轨迹是方程为…………………………12分
所以轨迹E为椭圆，其内接矩形的最大面积为.………………14分

略