Question

（本小题满分12分）
设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知、，且.
（1）求动点C的轨迹E；
（2）若直线与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足，求实数的取值范围。

Answer 1

解：（１）设点，则△ABC的重心，∵△ABC是不等边三角形，∴
再设△ABC的外心. ∵已知，∴MN∥AB，∴.  …………2分
∵点N是△ABC的外心，∴，即
化简整理得轨迹E的方程是                    …………4分
∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）  …………5分
（2）（理科）将直线方程代入轨迹E的方程，并化简，
得                       …………6分
依题意，知，，且，
化简，得，，且                         …………7分
设、，∵，∴，即
        …………8分
又∵，，∴，
化简得                                        …………10分
∴，，，，
解得实数的取值范围是或且.          …………12分

略