Question

【题目】如图，已知四棱锥中，，平面，，F，G分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中点O，连接，根据条件可证平面平面，从而可证明.
（Ⅱ）平面，平面，由得，故以点O为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角.

（Ⅰ）证明：如图，取的中点O，连接.

点分别为的中点，点O为的中点，

为梯形的中位线，.

平面，平面，

平面.

同理，，

平面，平面，

平面.

又，平面平面.

平面，平面.

（Ⅱ）平面，平面.

，

故以点O为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

在中，.

在中，.

在中，，作，垂足为点H.

在中，，，

，

，，，，

，，.

设平面的法向量为，

由

得，令，；

设平面的法向量为，

由

得

令.

设二面角的大小为，

由图可知，二面角为锐角，

则.

所以二面角的余弦值为