Question

【题目】如图，已知四锥中，，底面ABCD为形，，点E为的AD中点.

（1）证明：平面平面PBE；

（2）若，二面角的余弦值为，且，求PE的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明，，又，可证得，，则可证得平面PBE，从而可证得平面平面PBE；

（2）设，易证两两垂直，可建立空间直角坐标系，用坐标法表示出，二面角的余弦值为，从而求得.

（1）证明：连结BD，∵四边形ABCD是菱形，又，

∴是等边三角形，又E为AD中点，

∴，，

又，∴，，

又BE，平面PBE，，

∴平面PBE，又平面PBC，∴平面平面PBE.

（2）由（1）得，又，∴易知平面ABCD，

∴,由（1）得，.

以E为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

设，则，，，，，

设为平面PAD的法向量，

则，即，∴取，则，

设为平面PAB的法向量，

则，，∴取，则，

则，∴，∴.