Question

已知数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，n∈N^*，求T_n（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出公比和公差，根据条件和等差、等比数列的通项公式、前n项和公式列出方程，求出公比和公差，即可求出通项；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a_nb_n，利用错位相减法求出T_n的表达式．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程组

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，
解得

d=3 q=2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n•b_n=（3n-1）•2ⁿ，
则T_n=2×2+5×2²+8×2³+…+（3n-1）×2ⁿ，①
2T_n=2×2²+5×2³+…+（3n-4）×2ⁿ+（3n-1）×2ⁿ⁺¹，②
由①-②得，-T_n=2×2+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=4+3×

4(1-2n-1)

1-2

-（3n-1）×2ⁿ⁺¹
=-（3n-4）×2ⁿ⁺¹-8．
所以T_n=（3n-4）×2ⁿ⁺¹+8．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题，以及错位相减法求数列的和，考查计算能力，解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识、基本方法．