题目内容

若椭圆E1：
x2
a21
+
y2
b21
=1和椭圆E2：
x2
a22
+
y2
b22
=1满足
a2
a1
=
b2
b1
=m(m＞0)，则称这两个椭圆相似，m是相似比．
（Ⅰ）求过（2，
6
)且与椭圆
x2
4
+
y2
2
=1相似的椭圆的方程；
（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．
①若P是线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，求P点的轨迹方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．
（Ⅰ）设与
x2
4
+
y2
2
=1相似的椭圆的方程
x2
a2
+
y2
b2
=1．
则有
2
a
=
2
b
4
a2
+
6
b2
=1
…（3分）
解得a2=16，b2=8．
所求方程是
x2
16
+
y2
8
=1．…（4分）
（Ⅱ）①当射线l的斜率不存在时A(0，±
2
)，B(0，±2
2
)，
设点P坐标P（0，y0），则y02=4，y0=±2．即P（0，±2）．…（5分）
当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，P（x，y）
由A（x1，y1），B（x2，y2）则
y1=kx1
x21
4
+
y21
2
=1

得
x21
=
4
1+2k2
y21
=
4k2
1+2k2

∴|OA|=
2
1+k2
1+2k2
同理|OB|=
4
1+k2
1+2k2
…（7分）
又点P在l上，则k=
y
x
，且由x2+y2=
8(1+k2)
1+2k2
=
8(1+
y2
x2
)
1+2
y2
x2
=
8(x2+y2)
x2+2y2
，
即所求方程是
x2
8
+
y2
4
=1．
又∵（0，±2）适合方程，
故所求椭圆的方程是
x2
8
+
y2
4
=1．…（9分）
②由①可知，当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=
2
•2
2
=4，当l的斜率存在时，
|OA|•|OB|=
8(1+k2)
1+2k2
=4+
4
1+2k2
，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）
综上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上横坐标为1的点M到抛物线C焦点F的距离|MF|=2．
（1）试求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l与抛物线C相交所得的弦的中点为（2，1），试求直线l的方程．
已知点M（
3
，0），椭圆
x2
4
+y2=1与直线y=k（x+
3
）交于点A、B，则△ABM的周长为（　　）
A．4B．8C．12D．16
在直线y=x-2上是否存在点P，使得经过点P能作出抛物线y=
1
2
x2的两条互相垂直的切线？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点(1，
q
2
)，且离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
，0)，求k的取值范围．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞c＞0，a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于
3
2
(a-c)．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长的最大值．
（A题）如图，在椭圆
x2
a2
+
y2
8
=1（a＞0）中，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，B，D分别为椭圆的左右顶点，A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点，直线AF1交y轴于点E，且点F1，F2三等分线段BD．
（1）若四边形EBCF2为平行四边形，求点C的坐标；
（2）设m=
S△AF1O
S△AEO
，n=
S△CF1O
S△CEO
，求m+n的取值范围．
双曲线
x2
v
-
y2
图6
=图的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是______．
已知
1
m
+
2
n
=1(m＞0，n＞0)，当mn取得最小值时，直线y=-
2
x+2与曲线
x|x|
m
+
y|y|
n
=1交点个数为______．

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