Question

7．在标准情况下，同时建立直角坐标系与极坐标系已知圆：ρ=4cosθ，直线$\left\{{\begin{array}{l}{x=a-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$．
（1）求圆的参数方程；
（2）若直线与圆相切，求a及直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）化圆的极坐标方程为普通方程，然后化为圆的标准方程为参数方程；
（2）求出圆心到直线l的距离d，从而求得a的值；将直线参数方程转化为普通方程，然后化为直线的标准方程为极坐标方程．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，即x²-4x+y²=0，
配方为（x-2）²+y²=4．
设x-2=2cosα，则y=2sinα，α∈[0，2π）．
则圆的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$；
（2）由直线$\left\{{\begin{array}{l}{x=a-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$得到y+x-a=0．
由（1）知，圆的方程为：（x-2）²+y²=4．
则该圆的圆心是（2，0），半径是2，
所以当直线与圆相切时，d=2=$\frac{|2-a|}{\sqrt{2}}$，
解得a=2-2$\sqrt{2}$或a=2+2$\sqrt{2}$；
故直线是y+x-2+2$\sqrt{2}$=0或y+x-2-2$\sqrt{2}$=0．
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴极坐标方程式 ρcosθ+ρsinθ-2+2$\sqrt{2}$=0或ρcosθ+ρsinθ-2-2$\sqrt{2}$=0．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．