Question

某新设备M在第1年可以生产价值120万元的产品，在使用过程中，由于设备老化及维修原因使得M的生产能力逐年减少，从第2年到第6年，每年M生产的产品价值比上年减少10万元；从第7年开始，每年M生产的产品价值为上年的75%．
（I）求第n年M生产的产品价值a_n的表达式；
（II）该设备M从购买回来后马上使用，则连续正常使用10年可以生产多少价值的产品？

Answer 1

分析：（I）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列；当n≥7时，数列{a_n}是首项为a₆，公比为

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的等比数列，故可求第n年M生产的产品价值a_n的表达式；
（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn=120n-5n(n-1)=-5n2+125n（8分）
当n≥7时，Sn=S6+(a7+a6+…an)=570+70•

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•4•[1-(

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)n-6]=780-210•(

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)n-6，从而可求连续正常使用10年可以生产多少价值的产品．

解答：解：（I）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列，a_n=120-10（n-1）=130-10n；
当n≥7时，数列{a_n}是首项为a₆，公比为

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的等比数列，又a₆=70，∴an=70×(

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)n-6
∴第n年M生产的产品价值a_n的表达式为an=

130-10n，n≤6 70×( 3 4 )n-6，n≥7

；
（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn=120n-5n(n-1)=-5n2+125n（8分）
当n≥7时，Sn=S6+(a7+a6+…an)=570+70•

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4

•4•[1-(

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4

)n-6]=780-210•(

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)n-6（10分）
所以，S10=780-210•(

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)4≈713.55万元（12分）

点评：本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的通项及求和公式的运用，解题的关键是构建等差数列、等比数列模型．