Question

某新设备M在第1年可以生产价值120万元的产品，在使用过程中，由于设备老化及维修原因使得M的生产能力逐年减少，从第2年到第6年，每年M生产的产品价值比上年减少10万元；从第7年开始，每年M生产的产品价值为上年的75%．
（I）求第n年M生产的产品价值a_n的表达式；
（II）该设备M从购买回来后马上使用，则连续正常使用10年可以生产多少价值的产品？

Answer 1

【答案】分析：（I）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列；当n≥7时，数列{a_n}是首项为a₆，公比为的等比数列，故可求第n年M生产的产品价值a_n的表达式；
（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，（8分）
当n≥7时，，从而可求连续正常使用10年可以生产多少价值的产品．
解答：解：（I）当n≤6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列，a_n=120-10（n-1）=130-10n；
当n≥7时，数列{a_n}是首项为a₆，公比为的等比数列，又a₆=70，∴
∴第n年M生产的产品价值a_n的表达式为；
（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，（8分）
当n≥7时，（10分）
所以，万元（12分）
点评：本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的通项及求和公式的运用，解题的关键是构建等差数列、等比数列模型．