Question

【题目】已知函数，为自然对数的底数.

（1）求函数的极值点；

（2）若对任意，都有，求常数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的极小值点为，无极大值点；（2）.

【解析】

（1）求出导数，根据导数的符号判断函数的单调性从而求得函数的极值点；（2）构造函数，求出导数判断函数单调性从而证明当时对任意的不等式恒成立即可.

（1）求导得（）.

由得；由得.

所以在区间内单调递减，在区间内单调递增.

故函数的极小值点为，无极大值点.

（2）设函数，则

，其中.

（i）当时，因为，则必然存在，使在区间内恒成立，所以在区间内单调递增.

于是，这与题设矛盾，故舍去.

（ii）当时，因为在区间内单调递减，

所以，故在区间内单调递减，

于是，从而在区间内单调递减，

故对任意，都有，满足题意.

综上所述，常数的取值范围是.