题目内容

设函数f（x）=log_ax（0＜a＜1）．
（Ⅰ）若f（x²-x）＞f（2），求x的取值范围；
（Ⅱ）记函数f（x）的反函数为g（x），若a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，求k的最小值．

解：（Ⅰ）由已知 $\text{[math]}$ ，
因为0＜a＜1，所以0＜x²-x＜2，…
解x²-x＜2，得-1＜x＜2．
解x²-x＞0，得x＞1或x＜0．
所以x的取值范围是{x|-1＜x＜0或1＜x＜2}．…
（Ⅱ）g（x）为f（x）的反函数，所以g（x）=a^x．…
由已知a+ka^x-1≥0在区间[2，+∞）上恒成立，
因为a^x-1＞0，所以 $\text{[math]}$ 在区间[2，+∞）上恒成立，…
即k大于等于 $\text{[math]}$ 的最大值．…
因为0＜a＜1，所以 $\text{[math]}$ ，又x-2∈[0，+∞），
所以 $\text{[math]}$ 的最小值为1， $\text{[math]}$ 的最大值为-1，…
所以k≥-1，
所以k的最小值为-1．…
分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=log_ax，把其代入不等式f（x²-x）＞f（2），注意0＜a＜1，函数f（x）为减函数，可以得到一个一元二次不等式，从而求解；
（Ⅱ）根据函数f（x）的反函数为g（x），求出g（x），根据a+kg（x-1）≥0在[2，+∞）上恒成立，将问题转化为 $\text{[math]}$ 在区间[2，+∞）上恒成立，求出 $\text{[math]}$ 的最大值即可；
点评：此题主要考查函数恒成立的问题，以及不等式的求法，是一道基础题，考查指数函数的单调性，考查的知识点比较全面；