Question

如图，直四棱柱 的底面 是平行四边形，， ，，点 是 的中点，点 在 且.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求锐二面角平面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：(1)利用已知的垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线面垂直，只需要证明直线的方向向量垂直与平面的法向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（Ⅰ）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系．则依题意,可得以下各点的坐标分别为．

∴

∴

∴，．又

∴ 平面．

（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则 ，

而∴ ，

令得．

又∵是平面的法向量，

∴ ．

所以锐二面角平面角的余弦值为．

考点：利用空间向量证明线面垂直和求夹角 .