Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F分别在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．
（I）求证：A′D∥平面B′FC
（II）求二面角A′-DE-F的大小

．

Answer 1

（I）证明：∵A^′E∥B^′F，A^′E?平面B^′FC，B^′F?平面B^′FC．
∴A^′E∥平面B^′FC，
由DE∥FC，同理可得DE∥平面B^′FC，
又∵A^′E∩DE=E．
∴平面A^′ED∥平面B^′FC，
∴A^′D∥平面B^′FC．
（II）解：如图，过E作ER∥DC，过E作ES⊥平面EFCD，
分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵B^′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B^′（0，y，z）（y，z∈R⁺）．
∵F（2，2，0），，B^′F=3．
∴解得．
∴B^′（0，1，2）．
∴．
∴=．
设平面A^′DE的法向量为，又有．
∴得，令x=1，则z=1，y═0，得到．
又∵平面CDEF的法向量为．
设二面角A^′-DE-F的大小为θ，显然θ为钝角
∴=．
∴θ=135°．
分析：（I）利用线面平行的判定定理可得A^′E∥平面B^′FC，DE∥平面B^′FC，又A^′E∩DE=E．由面面平行的判定定理可得平面A^′ED∥平面B^′FC，再利用面面平行的性质定理可得线面平行；
（II）建立如图所示的空间直角坐标系，利用B^′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B^′（0，y，z）（y，z∈R⁺）及F（2，2，0），，B^′F=3，可得到点B^′的坐标，分别求出平面A^′DE的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角．
点评：熟练掌握线面平行的判定定理、面面平行的判定和性质定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．