Question

（2013•临沂二模）如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使DB=

3

．
（Ⅰ）求证：平面AOD⊥平面ABCO；
（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证明面面垂直，常用其判定定理来证明，即在其中一个平面内找到一条直线与另一平面垂直；
（2）空间中求线面角，常用空间向量来解决，即建立空间直角坐标系后，求直线的方向向量与平面的法向量，再求其夹角的余弦即是所求．

解答：（Ⅰ）证明：∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，
∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，即OB⊥OA．…（1分）
取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=

2

2

，
在Rt△BOH中，BH²=BO²+OH²=

5

2

，
在△BHD中，DH²+BH²=(

2

2

)2+

5

2

=3，又DB²=3，
∴DH²+BH²=DB²，∴DH⊥BH．…（2分）
又DH⊥OA，OA∩BH=H …（3分）
∴DH⊥面ABCO，…（4分）
而DH∈平面AOD，…（5分）
∴平面AOD⊥平面ABCO．…（6分）
（Ⅱ）解：分别以直线OA，OB为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0，

2

，0)，A(

2

，0，0)，D(

2

2

，0，

2

2

)，C(-

2

2

，

2

2

，0)．
∴

AB

=(-

2

，

2

，0)，

AD

=(-

2

2

，0，

2

2

)，

BC

=(-

2

2

，-

2

2

，0)．…（7分）
设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），
由

n• AB =0 n• AD =0

得

- 2 x+ 2 y=0 - 2 2 x+ 2 2 z=0

即x=y，x=z，令x=1，则y=z-1，
取n=（1，1，1）．…（9分）
设α为直线BC与平面ABD所成的角，
则sinα=

| BC •n|

| BC |•|n|

=

2

3

=

6

3

．…（11分）
即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为

6

3

．…（12分）

点评：本题考查的内容是立体几何，主要考查面面垂直的证明以及求线面角中的向量方法，属于中档题．