Question

已知椭圆的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），直线F₁M与抛物线C相切．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（Ⅱ）若M、N两点恒在该椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距，所以椭圆焦点为F₁（-1，0）F₂（1，0），又抛物线C的焦点为，，由此能求出抛物线C的方程和点M、N的坐标．
（Ⅱ）由M、N两点在椭圆内部，知|F₁M|+|F₂M|＜2a，，c=1，离心率，由此能导出椭圆离心率的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距（1分）
所以椭圆焦点为F₁（-1，0）F₂（1，0）（2分）
又抛物线C的焦点为∴，∴C：y²=4x（3分）
∵M（x₁，y₁）在抛物线C上，
∴y₁²=4x₁，直线F₁M的方程为（4分）
代入抛物线C得y₁²（x+1）²=4x（x₁+1）²，即4x₁（x+1）²=4x（x₁+1）²∴x₁x²-（x₁²+1）x+x₁=0，（5分）
∵F₁M与抛物线C相切，∴△=（x₁²+1）²-4x₁²=0，（6分）∴x₁=1，∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．（7分）
（Ⅱ）∵M、N两点在椭圆内部，∴|F₁M|+|F₂M|＜2a（9分）
即，∴，（11分）
∴，（12分）
∵c=1，∴离心率，（13分）
又e＞0，∴椭圆离心率的取值范围为（14分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．