Question

设函数f(x)＝(1＋x)²－2ln(1＋x)

(1)若关于x的不等式f(x)－m≥0在[0，e－1]有实数解，求实数m的取值范围；

(2)设g(x)＝f(x)－x²－1，若关于x的方程g(x)＝p至少有一个解，求p的最小值．

(3)证明不等式：ln(n＋1)＜1＋＋＋…＋(n∈N^*)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意得 　　，而函数的定义域为 　　∴f(x)在(－1，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，则f(x)在[0，e－1]上为增函数 　　 　　即实数m的取值范围为m≤e2－2；4分 　　(2) 　　则 　　显然，函数g(x)在(－1，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数 　　则函数g(x)的最小值为g(0)＝0 　　所以，要使方程g(x)＝p至少有一个解，则p≥0，即p的最小值为0；8分 　　(3)由(2)可知：g(x)＝2[x－ln(1＋x)]≥0在(－1，＋∞)上恒成立 　　所以ln(1＋x)≤x，当且仅当x＝0时等号成立 　　令，则x∈(0，1)代入上面不等式得： 　　即，即 　　所以，ln2－ln1＜1，，，…， 　　将以上n个等式相加即可得到：；12分