Question

已知向量

a

=(sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)(x∈R)，若函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相应的x值；
（3）若x∈[0，π]，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积和三角函数的恒等变形即可化为f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，再根据求周期的公式T=

2π

|ω|

即可求出；
（2）根据x的取值范围求出2x-

π

4

的范围，求出使six(2x-

π

4

)取得最大值的x的值，即使函数f（x）取得最大值的x的值；
（3）根据函数y=sinx的图象知，在区间[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ](k∈Z)上单调递减，只要把f（x）中的(2x-

π

4

)看做一个整体求出即可．

解答：解：∵向量

a

=(sinx，sinx)，

b

=(cosx，sinx)(x∈R)，
∴f(x)=

a

•

b

=sinxcosx+sin2x=

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

(sin2x-cos2x)+

1

2

=

2

2

(

2

2

sin2x-

2

2

cos2x)+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

．
（1）由上面f（x）的表达式可知：f（x）的最小正周期=

2π

2

=π；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，∴当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，sin(2x-

π

4

)=1，f（x）取得最大值

2 +1

2

；
（3）当x∈[0，π]时，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，
由y=sinx的图象知，在区间[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ](k∈Z)上单调递减，
而[-

π

4

，

7π

4

]∩[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]（k∈Z）=[

π

2

，

3π

2

]，
由

π

2

≤2x-

π

4

≤

3π

2

，解得

3π

8

≤x≤

7π

8

．
∴f（x）的单调递减区间为[

3π

8

，

7π

8

]．

点评：熟练掌握数量积的运算和三角函数的恒等变形及三角函数的单调性是解题的关键．