题目内容
已知向量
=(sinθ，1)，
=(1，cosθ)，θ∈(-
，
)．
（1）若
⊥
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
sin(θ+
)，利用此结论求|
+
|的最大值．
| a |
| b |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（1）若
| a |
| b |
（2）若已知sinθ+cosθ=
| 2 |
| π |
| 4 |
| a |
| b |
分析：（1）根据题意，由
⊥
，可得
•
=0，由数量积公式可得sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，结合θ的范围，即可得答案；
（2）由向量模的计算方法，有|
+
|=
，由正弦函数的性质，分析可得当sin(θ+
)=1时，|
+
|有最大值，即可得答案．
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）由向量模的计算方法，有|
| a |
| b |
2
|
| π |
| 4 |
| a |
| b |
解答：解：（1）由
⊥
，得
•
=0，
则有sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，
又由θ∈（-
，
）
因此θ=-
（2）|a+b|=
=
=
．
当sin(θ+
)=1时，|
+
|有最大值，
此时θ=
，|
+
|的最大值为
=
+1．
| a |
| b |
| a |
| b |
则有sinθ+cosθ=0，即tanθ=-1，
又由θ∈（-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
因此θ=-
| π |
| 4 |
（2）|a+b|=
| (sinθ+1)2+(cosθ+1)2 |
| 2(sinθ+cosθ)+3 |
2
|
当sin(θ+
| π |
| 4 |
| a |
| b |
此时θ=
| π |
| 4 |
| a |
| b |
2
|
| 2 |
点评：本题考查向量数量积的应用，要掌握通过数量积来判断向量垂直，计算向量的模的方法．
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