Question

12．（文科）已知m∈R，集合A={m|m²-am＜12a²（a≠0）}；集合B={m|方程$\frac{{x}^{2}}{m+4}$+$\frac{{y}^{2}}{8-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 通过讨论a的范围，分别求出关于A、B的不等式的解集，结合集合的包含关系，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：对于集合A，由m²-am＜12a²，故（m-4a）（m+3a）＜0，
对于集合B，解$\left\{\begin{array}{l}{m+4＞0}\\{8-m＞0}\\{m+4＜8-m}\end{array}\right.$，解得：-4＜m＜2；
①a＞0时，集合A：-3a＜m＜4a，
若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{-4＜-3a}\\{4a＜2}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$；
②a＜0时，集合A：a＜m＜-3a，
若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{-4＜4a}\\{-3a＜2}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{2}{3}$＜a＜0，
综上：a∈（-$\frac{2}{3}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了充分必要条件，考查集合的运算以及不等式问题，是一道中档题．