题目内容

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，则C的离心率e=$\frac{5}{7}$．

分析 由已知条件，利用解直角三角形求出|BF|，再利用椭圆的对称性质能求出椭圆的离心率．

解答 解：如图所示，
在△AFB中，|AB|=10，|AF|=6，∠AFB=90°，
∴|BF|2=|AB|2-|AF|2=100-36=64，
∴|BF|=8，
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
∴|BF′|=|AF|=6，|FF′|=10．
∴2a=8+6=14，2c=10，解得a=7，c=5，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$，
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的合理运用．

练习册系列答案
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（3）若整数集合A1⊆A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．
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7．如图，边长为a的正方形最长的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则（　　）
A．e1=e2＜e3B．e1＜e2=e3C．e1=e2＞e3D．e2=e3＜e1
14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（I）求椭圆C的方程；
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