Question

已知F₁、F₂分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆E上的点，线段F₁P的中点在y轴上，

PF1

•

PF2

=

1

16

a2．倾斜角等于

π

3

的直线l经过F₁，与椭圆E交于A、B两点．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设△F₁PF₂的周长为2+

3

，求△ABF₂的面积S的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出|PF₂|=

b2

a

=

1

16

a2，从而得到3a²=4c²，由此能求出椭圆E的离心率．
（2）由已知条件推导出2a+2c=2+

3

，从而得到

a=1 c= 3 2

，进而求出椭圆E的方程为x²+4y²=1，直线l的方程为2

3

x-2y+3=0．由此能求出△ABF₂的面积S的值．

解答： 解：（1）∵F₁，F₂分别是椭圆E的左右焦点，P是椭圆E上的点，
线段F₁P的中点在y轴上，
∴PF₂⊥x轴，∴|PF₂|=

b2

a

，
又∵

PF1

•

PF2

=

1

16

a2，
∴|PF₂|²=

1

16

a2，∴

b2

a

=

1

4

a，
∴a²=4b²，∴a²=4（a²-c²），化简得3a²=4c²，
∴

c

a

=

3

2

，
∴椭圆E的离心率e=

3

2

．
（2）∵△F₁PF₂的周长为2+

3

，∴2a+2c=2+

3

，
解方程组

2a+2c=2+ 3 c a = 3 2

，得

a=1 c= 3 2

，
∴b2=

1

4

，
∴椭圆E的方程为x²+4y²=1，
由已知得直线l的方程为y=

3

（x+

3

2

），即2

3

x-2y+3=0．
∴F2(

3

2

，0)到直线l的距离d=

3

2

，
由

y= 3 (x+ 3 2 ) x2+4y2=1

，得13x²+12

3

x+8=0，
∴x₁+x₂=-

12 3

13

，x₁x₂=

8

13

，
∴|AB|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(- 12 3 13 )2-4× 8 13

=

8

13

，
∴S=

1

2

|AB|d=

1

2

×

8

13

×

3

2

=

6

13

．
∴△ABF₂的面积S的值等于

6

13

．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查三角形的面积的求法，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式和弦长公式的合理运用．