Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{{2}^{x}+1}$．
（1）求定义域，值域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）由2^x＞0知2^x+1＞1，从而可得函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义即可作出判断；（3）根据函数单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）∵2^x+1＞1，
∴x∈R，即该函数的定义域为R，
f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵2^x+1＞1，∴0＜$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜2，
∴-1＜-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜1，即f（x）的值域为（-1，1）；
（2）f（x）为奇函数，
定义域为R，关于原点对称，
且f（-x）=$\frac{1{-2}^{-x}}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{x}}}{\frac{1}{{2}^{x}}+1}$=-$\frac{1{-2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴f（x）为R上的奇函数
（3）f（x）是减函数，证明如下：
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{1{-2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{1{-2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{（1{+2}^{{x}_{1}}）（1{+2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₂＞x₁，∴${2}^{{x}_{2}}$＞${2}^{{x}_{1}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）是减函数．

点评 本题考查函数定义域值域的求解、函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决奇偶性的基本方法，熟记基本函数的值域是解决相关问题的基础．