题目内容
16．设实数a，x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2a-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}+2a-3}\end{array}\right.$，则xy的取值范围是（ ）| A． | [2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$] | B． | [$\frac{11}{4}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$] | C． | [2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{11}{4}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$] | D． | [$\frac{11}{4}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{11}{4}$+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$] |
分析 先求出2xy的表达式，结合基本不等式的性质解关于a的不等式，解出即可．
解答 解：实数a，x，y，满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2a-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={a}^{2}+2a-3}\end{array}\right.$，
①2-②解得：2xy=3a2-6a+4，∵a2+2a-3≥0，∴a≥1或a≤-3．
根据圆心到直线的距离小于或等于半径，
得：$\frac{|2a-1|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{{a}^{2}+2a-3}$，
解得2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
令g（x）=$\frac{1}{2}$（3a2-6a+4），对称轴a=1，1∉[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
∴a=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时：g（x）最小：$\frac{11}{4}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
a=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时：g（x）最大：$\frac{11}{4}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
xy∈[$\frac{11}{4}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，$\frac{11}{4}$+$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$]，
故选：D．
点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．
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6．使f（x）=sin（2x+θ）-$\sqrt{3}$cos（2x+θ）为偶函数，且在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上是减函数的θ的一个值是（ ）
| A． | $\frac{5π}{6}$ | B． | $\frac{2π}{3}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | -$\frac{π}{6}$ |