Question

如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面 平面，且，分别为和的中点．

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：平面平面；
（Ⅲ）求四棱锥的体积．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般可考虑线面平行的判定定理，构造面外线平行于面内线，其手段一般是构造平行四边形，或构造三角形中位线(特别是有中点时)，本题易证从而达到目标；（Ⅱ）要证面面垂直，由面面垂直的判定定理知可先考察线面垂直，要证线面垂直，又要先考察线线垂直；（Ⅲ）求棱锥的体积，关键是作出其高，由面面及为等腰直角三角形，易知（中点为），就是其高，问题得以解决.

试题解析：（Ⅰ）证明：如图，连结．
∵四边形为矩形且是的中点．∴也是的中点．
又是的中点，                       2分
∵平面，平面，所以平面；      4分
（Ⅱ）证明：∵平面 平面，，平面 平面，
所以平面 平面，又平面，所以       6分
又，是相交直线，所以面 
又平面，平面平面；            8分
（Ⅲ）取中点为．连结,为等腰直角三角形，所以，
因为面面且面面，
所以，面，
即为四棱锥的高．      10分 
由得．又．
∴四棱锥的体积    12分