题目内容

将函数y=f'（x）sinx的图象向左平移
π4
个单位，得到函数y=1-2sin2x的图象，则f（x）是
 
．
分析：先将函数y=f'（x）sinx的图象向左平移
π
4
个单位使其等于y=1-2sin2x，然后根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简整理可求得到f'（x+
π
4
）的关系式，再由平移的知识得到f'（x）的解析式，最后根据微积分的知识得到函数f（x）的解析式．
解答：解：将函数y=f'（x）sinx的图象向左平移
π
4
个单位得到y=1-2sin2x
又因为f'（x+
π
4
）sin（x+
π
4
）=f'（x+
π
4
）×
2
2
（cosx+sinx）
=1-2sin2x=cos2x=cos2x-sin2x
∴f'（x+
π
4
）=
2
（cosx-sinx）=2cos（x+
π
4
）
∴f'（x）=2cosx∴f（x）=2sinx
故答案为：2sinx
点评：本题主要考查三角函数的平移、二倍角公式、两角和与差的正弦公式和微积分的有关知识．考查综合运用能力．
练习册系列答案
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已知向量
m
=(2sinx，2cosx)，
n
=(
3
cosx，cosx)，f(x)=
m
•
n
-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的
1
2
，把所得到的图象再向左平移
π
6
单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，
π
8
]上的最小值．
已知：向量
a
=(2cos
x
4
，2sin
x
4
)，
b
=(sin
x
4
，-
3
sin
x
4
)，函数f(x)=
a
•
b
+
3

（1）求函数y=f（x）的最小正周期及最值；
（2）将函数y=f（x）的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后，再向左平移
2
3
π得到函数y=g（x），判断函数y=g（x）的奇偶性，并说明理由．
要得到函数y=f（x-2）+1的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）将函数y=f（x）图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ（x）的图象，试写出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2
3
cos2ωx-
3
（其中ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移
π
4
个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的
1
2
（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）在[-
π
6
，
π
24
]上的单调区间．

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