Question

已知函数f(x)=2sinωx•cosωx+2

3

cos2ωx-

3

（其中ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的

1

2

（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）在[-

π

6

，

π

24

]上的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为 2sin（2ωx+

π

3

）+

3

，再根据它的周期为

2π

2ω

=π，求得ω 的值．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2sin（4x-

π

6

）+

3

．令2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，再根据x∈[-

π

6

，

π

24

]，可得函数的增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=2sinωx•cosωx+2

3

cos2ωx-

3

=sin2ωx+2

3

•

1+cos2ωx

2

 
=2[

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx]+

3

=2sin（2ωx+

π

3

）+

3

 （其中ω＞0）的周期为

2π

2ω

=π，
∴ω=1．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位长度，
可得函数y=2sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]+

3

=2sin（2x-

π

6

）+

3

的图象．
再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的

1

2

（纵坐标不变）得到函数y=g（x）=2sin（4x-

π

6

）+

3

的图象．
令2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

．
再根据x∈[-

π

6

，

π

24

]，可得函数的增区间为[-

π

12

，

π

24

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性和周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．