Question

已知：向量

a

=(2cos

x

4

，2sin

x

4

)，

b

=(sin

x

4

，-

3

sin

x

4

)，函数f(x)=

a

•

b

+

3

（1）求函数y=f（x）的最小正周期及最值；
（2）将函数y=f（x）的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后，再向左平移

2

3

π得到函数y=g（x），判断函数y=g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量数量积公式、两角和差的正弦公式化简函数y=f（x）的解析式为2sin（

x

2

+

π

3

），由此求出它的最小正周期和最小值．
（2）第一次变换后得到y=2sin（

x

4

+

π

3

）的图象，第二次变换后得到y=2cos

x

4

的图象，再由偶函数的定义判断它为偶函数．

解答：解：（1）∵函数y=f（x）=

a

•

b

+

3

=sin

x

2

-2

3

sin2

x

4

+

3

=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin（

x

2

+

π

3

），
故函数y=f（x）的最小正周期为

2π

1 2

=4π，最小值为-2．
（2）将函数y=f（x）的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后，得到函数y=2sin（

x

4

+

π

3

）的图象，
再向左平移

2

3

π得到函数y=2sin[

1

4

 (x+

2π

3

 )+

π

3

]=2sin（

x

4

+

π

2

）=2cos

x

4

的图象，
故函数y=g（x）=2cos

x

4

，定义域为R，
因为g（-x）=2cos（-

x

4

 ）=2 cos

x

4

=g（x），
故函数y=g（x）是偶函数．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，诱导公式、两个向量数量积公式的应用，三角函数的周期性和求法、正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．