已知数列{an}与{bn}满足:bnan+an+1+bn+1an+2=0.bn=3+(-1)n2.n∈N*.且a1=2.a2=4．(Ⅰ)求a3.a4.a5的值,(Ⅱ)设cn=a2n-1+a2n+1.n∈N*.证明:{cn}是等比数列,(Ⅲ)设Sk=a2+a4+-+a2k.k∈N*.证明:4nk=1Skak＜76(n∈N*)．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知数列{a_n}与{b_n}满足：bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=

3+(-1)n

，n∈N^*，且a₁=2，a₂=4．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n-1+a_2n+1，n∈N^*，证明：{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_k=a₂+a₄+…+a_2k，k∈N^*，证明：

k=1

＜

(n∈N*)．

分析：（Ⅰ）要求a₃，a₄，a₅的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．
（Ⅱ）化简出a_2n-1+a_2n+1，a_2n+1+a_2n+3的关系，即：c_n+1与c_n的关系，从而证明{c_n}是等比数列；就是利用（Ⅰ）的bn=

1，n为奇数

2，n为偶数

，用2n-1，2n，2n+1，替换bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=

3+(-1)n

中的n，化简出只含“a_n”的关系式，就是a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③然后推出a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1），得到c_n+1=-c_n（n∈N^*），从而证明{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）先研究通项公式a_2k，推出S_k的表达式，然后计算

，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，对任意k∈N^*且k≥2，列出n个表达式，利用累加法求出a_2k=（-1）^k+1（k+3）．化简
S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，k∈N^*，

k=1

m=1

(

S4m-3

a4m-3

S4m-2

a4m-2

S4m-1

a4m-1

S4m

a4m

)，通过裂项法以及放缩法证明：

k=1

＜

(n∈N*)．

解答：20、满分14分．
（I）解：由bn=

3+(-1)n

，n∈N*，
可得bn=

1，n为奇数

2，n为偶数

又b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，

当n=1时，a1+a2+2a3=0，由a1=2，a2=4，可得a3=-3；

当n=2时，2a2+a3+a4=0，可得a4=-5；

当n=3时，a3+a4+2a5=0，可得a5=4．

（II）证明：对任意n∈N^*，a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③
②-③，得a_2n=a_2n+3．④
将④代入①，可得a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1）
即c_n+1=-c_n（n∈N^*）
又c₁=a₁+a₃=-1，故c_n≠0，
因此

cn+1

=-1，所以{cn}是等比数列．
（III）证明：由（II）可得a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，
于是，对任意k∈N^*且k≥2，有

a1+a3=-1，

-(a3+a5)=-1，

a5+a7=-1，

(-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1.

将以上各式相加，得a₁+（-1）^ka_2k-1=-（k-1），
即a_2k-1=（-1）^k+1（k+1），
此式当k=1时也成立．由④式得a_2k=（-1）^k+1（k+3）．
从而S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，S_2k-1=S_2k-a_4k=k+3．
所以，对任意n∈N^*，n≥2，

k=1

m=1

(

S4m-3

a4m-3

S4m-2

a4m-2

S4m-1

a4m-1

S4m

a4m

m=1