云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制.发布成绩使用等级制.各登记划分标准为:85分及以上.记为A等.分数在[70.85)内.记为B等.分数在[60.70)内.记为C等.60分以下.记为D等.同时认定等级分别为A.B.C都为合格.等级为D为不合格．已知甲.乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50.100]内.为了比较两校学生的成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．
已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．

（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；
（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

分析（1）利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．
（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{6}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{10}^{3}}$，即可得出．

解答解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．
甲校的合格率P₁=（1-0.004）×10=0.96=96%，
乙校的合格率P₂=$\frac{50-2}{50}×100%$=96%．
可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．
（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．
X=0，1，2，3．
则P（X=k）=$\frac{{∁}_{6}^{k}{∁}_{4}^{3-k}}{{∁}_{10}^{3}}$，P（X=0）=$\frac{4}{120}$=$\frac{1}{30}$，P（X=1）=$\frac{36}{120}$=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{60}{120}$=$\frac{1}{2}$，P（X=3）=$\frac{20}{120}$=$\frac{1}{6}$．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

E（X）=0+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$．

点评本题主要考查了超几何分布列的性质及其数学期望、频率分布直方图的性质、茎叶图的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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