Question

（本小题满分14分）

已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点 椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点，如图所示．

（Ⅰ）求椭圆的方程；          

（Ⅱ）求线段的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段的长度的最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在

确定点的个数，若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 （本小题满分14分）

已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点 椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点，如图所示．

（Ⅰ）求椭圆的方程；          

（Ⅱ）求线段的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段的长度的最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，请说明理由．

 

解：（Ⅰ）由题得椭圆方程为：    

   （Ⅱ）设直线的方程为，从而可知点的坐标为   由

得

    所以可得的方程为，从而可知点的坐标

    ，当且仅当时等号成立

    故当时，线段的长度取最小值    （Ⅲ）由（Ⅱ）知,当取最小值时，，此时直线的方程为，，。

要使椭圆C上存在点T，使得的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线上。

直线：；直线：，得或

则直线：或

无解；有两个解

所以T有两个。