Question

3．已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有$f[{f（x）+{{log}_{\frac{1}{3}}}x}]=4$，且方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． 0＜a≤5
• B． a＜5
• C． 0＜a＜5
• D． a≥5

Answer 1

分析 由题设知必存在唯一的正实数a，满足f（x）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=a，f（a）=4，f（a）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a，故4+log ${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a，log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a-4，a=（$\frac{1}{3}$）^a-4，左增，右减，有唯一解a=3，故f（x）+log ${\;}_{\frac{1}{3}}$x=a=3，由题意可得|log${\;}_{\frac{1}{3}}$x|=x³-6x²+9x-4+a在区间（0，3]上有两解，讨论g（x）=x³-6x²+9x-4+a的单调性和最值，分别画出作出y=|log${\;}_{\frac{1}{3}}$x|，和y=x³-6x²+9x-4的图象，通过平移即可得到a的范围．

解答 解：∵定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）
满足f[f（x）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$x]=4，
∴必存在唯一的正实数a，
满足f（x）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=a，f（a）=4，①
∴f（a）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a，②
由①②得：4+log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a，log${\;}_{\frac{1}{3}}$a=a-4，
a=（$\frac{1}{3}$）^a-4，左增，右减，有唯一解a=3，
故f（x）+log${\;}_{\frac{1}{3}}$x=a=3，
f（x）=3-log${\;}_{\frac{1}{3}}$x，
由方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在区间（0，3]上有两解，
即有|log${\;}_{\frac{1}{3}}$x|=x³-6x²+9x-4+a，
由g（x）=x³-6x²+9x-4+a，g′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．
g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a-4，g（3）=a-4，
分别作出y=|log${\;}_{\frac{1}{3}}$x|，和y=x³-6x²+9x-4的图象，可得
两图象只有一个交点，将y=x³-6x²+9x-4的图象向上平移，
至经过点（3，1），有两个交点，
由g（3）=1即a-4=1，解得a=5，
当0＜a≤5时，两图象有两个交点，
即方程|f（x）-3|=x³-6x²+9x-4+a在区间（0，3]上有两解．
故选：A．

点评 本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．