Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁且1，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），求数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）1，a_n，S_n成等差数列，可得2a_n=S_n+1，n=1时，2a₁=a₁+1，解得a₁．n≥2时，利用递推关系可得a_n=2a_n-1．
（2）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=$lo{g}_{2}{2}^{2n}$$•lo{g}_{2}{2}^{2n+2}$=4n（n+1），可得$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 解：（1）∵1，a_n，S_n成等差数列，∴2a_n=S_n+1，
∴n=1时，2a₁=a₁+1，解得a₁=1．n≥2时，2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，首项为1．∴${a_n}={2^{n-1}}$．
（2）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=$lo{g}_{2}{2}^{2n}$$•lo{g}_{2}{2}^{2n+2}$=2n（2n+2）=4n（n+1），
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n项和T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．