Question

19．已知关于x的方程x²-alnx-ax=0有唯一解，则实数a的取值范围为（-∞，0）∪{1}．

Answer 1

分析 由题意有x²=alnx+ax=a（lnx+x）   ①，则①可变换为：$\frac{1}{a}$=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$   ②；方程x²-alnx-ax=0有唯一解即②式中y=$\frac{1}{a}$ 与 g（x）图形有唯一交点；

解答 解：因为f（x）=x²-alnx-ax=0，即有x²=alnx+ax=a（lnx+x）   ①，函数定义域为x∈（0，+∞）；
∵x²＞0，∴a≠0，且lnx+x≠0，
则①可变换为：$\frac{1}{a}$=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$   ②；
令g（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$ （x＞0），则g'（x）=$\frac{-x-lnx+1}{{x}^{3}}$；
方程x²-alnx-ax=0有唯一解即②式中y=$\frac{1}{a}$ 与 g（x）图形有唯一交点；
令g'（x）=0，则导函数零点x=1；
∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上单调递减；
要使得y=$\frac{1}{a}$ 与 g（x）图形有唯一交点，即$\frac{1}{a}$=1 或  $\frac{1}{a}＜0$⇒a=1或a＜0
故答案为：（-∞，0）∪{1}

点评 本题主要考查了利用导数判断函数单调性，以及方程根与图形交点之间的关系，属中等题．