Question

求使得sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解的a．

Answer 1

分析：化简函数解析式为f（x）=

1

2

（cos4x-cos6x），利用导数可得f（0）=0是函数的极小值，f（

π

2

）=1是函数的极大值，f（π）=0是函数的极小值，当a=1时，函数f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x 和函数y=a只有一个交点，从而得到结论．

解答：解：令 f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x=-

1

2

(cos6x-cos2x)+

1

2

(cos4x-cos2x)=

1

2

（cos4x-cos6x），
则有f′（x）=3sin6x-2sin4x，令f′（x）=0，可得x=0 或 x=

π

2

，
即f′（0）=0，f′（

π

2

）=0，而且还有f′（π）=0．
由于f′（x）在x=0的左侧小于0，右侧大于0，故f（0）是函数的极小值，
由于f′（x）在x=

π

2

的左侧大于0，右侧小于0，故f（

π

2

）=1是函数的极大值，
同理可得f（π）=0是函数的极小值．
故函数 f（x）在[0，π）上只有一个极大值是f（

π

2

）=1，
故当a=1时，函数f（x）=sin4xsin2x-sinxsin3x 和函数y=a只有一个交点．
即sin4xsin2x-sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数零点的判定定理，求函数的导数，解题的关键是理解零点的定义以及零点判定定理，将题设中零点只有一个的条件正确转化，属于中档题．