Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2（a_n-1），数列{b_n}中，b₁=1，且点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设Hn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bn-1bn

，求使得Hn＜

m

30

对所有的n∈N^*都成立的最小正整数m；
（3）设Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，试比较T_n与3的大小关系．

Answer 1

分析：（1）利用数列中a_n与 Sn关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求{a_n}的通项公式；点P（b_n，b_n+1）代入直线x-y+2=0方程，易知{b_n}为等差数列．
（2）将b_n=2n-1代入Hn，易知用裂项法计算Hn，只需

m

30

大于H_n的最大值即可．
（3）Tn可看做是等差数列与等比数列对应项相乘后相加，可用错位相消法化简计算，后与3比较即可．

解答：解：（1）∵S_n=2（a_n-1），∴S_n+1=2（a_n+1-1）
两式相减得：an+1=2an+1-2an?

an+1

an

=2，又∵a₁=2
∴{a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a_n=2ⁿ
又P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0?b_n+1-b_n=2，
又∵b₁=1，∴}、{b_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴b_n=2n-1
（2）

1

bn-1bn

=

1

(2n-3)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)
∴Hn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bn-1bn

=

1

2

(1-

1

2n-1

)
要使

1

2

(1-

1

2n-1

)＜

m

30

所有的n∈N^*都成立，必须且仅需满足

1

2

≤

m

30

?m≥15
所以满足要求的最小正整数为15，
（3）Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

相减得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

化简得Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

＜3
所以T_n＜3

点评：本题考查数列通项公式求解，裂项法、错位相消法数列求和，数列的函数性质，不等式的证明．考查综合运用知识分析解决问题，计算等能力．