Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，且当x=-

3

3

时，f（x）取得极小值-

2 3

9

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求使得方程-

1

3

f′(x)-nx+4n+

1

3

=0仅有整数根的所有正实数n的值；
（3）设g（x）=|f（x）+（3t-1）x|，（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数，知b=d=0，由f′(-

3

3

)=0及f(-

3

3

)=-

2 3

9

，知a=-1，c=1，由此能求出f（x）．
（2）由方程-

1

3

f′(x)-nx+4n+

1

3

=0，知x²-nx+4n=0，由方程仅有整数解，知n为整数，由x²=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0，由此能求出n．
（3）由g（x）=|x³-3tx|，x∈[-1，1]是偶函数，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．构造函数h（x）=x³-3tx，利用导数性质能求出g（x）的最大值F（t）．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分）
又由f′(-

3

3

)=0及f(-

3

3

)=-

2 3

9

，得a=-1，c=1，
∴f（x）=-x³+x．…（4分）
当x＜-

3

3

时，f'（x）＜0，
当-

3

3

＜x＜

3

3

时f'（x）＞0，
∴f（x）在x=-

3

3

时取得极小值，
∴f（x）=-x³+x为所求．…（5分）
（2）方程-

1

3

f′(x)-nx+4n+

1

3

=0，
化简得：x²-nx+4n=0，
因为方程仅有整数解，故n为整数，
又由x²=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0．…（7分）
又n=

x2

x-4

=(x-4)+

16

(x-4)

+8，
故x-4为16的正约数，…（9分）
所以x-4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分）
（3）因为g（x）=|x³-3tx|，x∈[-1，1]是偶函数，
所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．
记h（x）=x³-3tx，∵h'（x）=3x²-3t=3（x²-t），
①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．
∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1-3t．…（12分）
②t＞0时，由h'（x）=0得，x=

t

，和x=-

t

，
i．当

t

≥1即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减，
∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=-h（x），F（t）=-h（1）=3t-1．…（14分）
ii．当

t

＜1即0＜t＜1时，h（x）在(0，

t

)单调减，(

t

，1)单调增，
（Ⅰ）当

t

＜1≤2

t

，即

1

4

≤t＜1时，|h(

t

)|＞|h(1)|，∴F(t)=-h(

t

)=2t

t

，
（Ⅱ）当2

t

＜1，即0＜t＜

1

4

时，h(1)＞2t

t

，∴F（t）=h（1）=1-3t，
综上可知，F(t)=

1-3t，t＜ 1 4 2t t ， 1 4 ≤t＜1 3t-1，t≥1

．…（16分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查所有正实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．