Question

【题目】任意连结正六边形的6个顶点组成一条闭折线．求证当中必有两条边是平行的．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

用、、、、、代表六个顶点，

由图可见，两两连线的15条线段可以分为六类平行线：

（1），其下标满足．

（2），其下标满足．

（3），其下标满足．

（4），其下标满足．

（5），其下标满足．

（6），其下标满足．

由此可以得出两个结论：

结论1 两条线段的充要条件是．

如图，有

．

结论2 六类平行线恰好对应着模6的六个剩余1，2，3，4，5，0.

由于封闭折线上的每一点都是两条线段的端点，因而其六条线段上各端点下标之和为

． ①

若封闭折线上的六条边分别取自上述六类(每类一条)，

则其端点下标之和关于模6取遍1，2，3，4，5，0，有．

这与①矛盾．所以，封闭折线上的六条边最多取自五类，至少有两条边属于同一类，这同一类的边就互相平行.