题目内容

已知二项式（ $数学公式$ + $数学公式$ ）ⁿ的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数等于_________．

135
分析：本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2ⁿ，最后通过比值关系为64即可求出n的值是6．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，求出r，将r的值代入通项求出展开式的x的系数
解答：令 $\text{[math]}$ 中x为1得各项系数和为4ⁿ
又展开式的各项二项式系数和为2ⁿ
∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64
∴ $\text{[math]}$
解得n=6
展开式的通项为 T_r+1=3^rC₆^rx^3-r
令3-r=1得r=2
所以展开式中x的系数等于9C₆²=135
故答案为135．
点评：本题考查求展开式的各项系数和的重要方法是赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，解答关键是利用展开式的各项的二项式系数的和为2ⁿ