Question

已知焦点（设为F₁，F₂）在x轴上的双曲线上有一点P（x，），直线y=x线的一条渐近线，当•=0，双曲线的一个顶点坐标是（ ）
A．（，0）
B．（，0）
C．（2，0）
D．（1，0）

Answer 1

【答案】分析：首先由直线y=x是渐近线得出b²=3a²，再将p点坐标代入椭圆方程得出x²=，然后根据•=0⇒PF₁⊥PF₂，进而得到|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²  并利用c²=a²+b²，求出a即可．
解答：解：∵双曲线在x轴上，直线y=x是渐近线
∴= 即b²=3a²
设双曲线方程为  F₁（-C，0）F₂（C，0）
把P（x，）代入方程整理得x²=
∵•=0∴PF₁⊥PF₂
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|² 即（x+c）²++（x-c）²+=4c²
整理得a²-c²=-6
∵c²=a²+b²=4a²
∴-3a²=-6
∴a=
故选A．
点评：本题考查了双曲线的简单性质，根据•=0⇒PF₁⊥PF₂，⇒PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，是解题的关键，属于中档题．