Question

（本小题满分12分）
如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱
被平面所截而得． ，为的中点．
（Ⅰ）当时，求平面与平面的夹角的余弦值；
（Ⅱ）当为何值时，在棱上存在点，使平面？

Answer 1

（1）分别取、的中点、，连接、．

以直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，，则、、的坐标分别为（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3）
设平面的法向量，
由得
，可取      
平面的法向量可以取           
∴        
∴平面与平面的夹角的余弦值为．
（2）在（1）的坐标系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．
因在上，设，则

∴
于是平面的充要条件为
                                
由此解得，          
即当=2时，在上存在靠近的第一个四等分点，使平面．

略