Question

2．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（cosβ，sinβ），将向量$\overrightarrow{OA}$绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量$\overrightarrow{OB}$（0＜θ＜90°），则下列说法不正确的是（　　）

• A． |$\overrightarrow{OA}$|+|$\overrightarrow{OB}$|＞|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|
• B． |$\overrightarrow{AB}$|＜$\sqrt{2}$
• C． |$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|
• D． （$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）⊥（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）

Answer 1

分析 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，利用平面向量线性运算的几何意义和三角形，菱形知识进行判断．

解答 解：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB则AB=|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|，
∵OA+OB＞AB，∴|$\overrightarrow{OA}$|+|$\overrightarrow{OB}$|＞|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|，故A正确．
∵OA=OB=1，∠AOB＜90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}-2OA•OB•cos∠AOB}$=$\sqrt{2-2cos∠AOB}$$＜\sqrt{2}$，故B正确．
∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|²=${\overrightarrow{OA}}^{2}$+${\overrightarrow{OB}}^{2}$+2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|²=${\overrightarrow{OA}}^{2}$+${\overrightarrow{OB}}^{2}$-2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≠0$，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|≠|$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$|．故C错误．
∵OA=OB，∴四边形ABCD是菱形，
∴OC⊥AB，即（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）⊥（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$），故D正确．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．