题目内容
已知点P（x，y）为椭圆
+y2=1上一点，F1、F2为椭圆左、右焦点，下列结论中：①△PF1F2面积的最大值为
；②若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则△PF1Q的周长为8；③若过点P、F2的直线l与椭圆的另一交点为Q，则恒有
=4；对定点A(
，
)，则|
|+|
|的取值范围为[4-
，4+
．其中正确结论的番号是______．
| x2 |
| 4 |
| 2 |
| |PF2|+|QF2| |
| |PF2|•|QF2| |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| PA |
| PF2 |
| 7 |
| 7 |
①△PF1F2面积S=
|F1F2|•|y|=
|y|，所以当|y|取最大值时，△PF1F2面积最大，所以点P为椭圆短轴端点时，|y|取最大值，此时y=±1，即△PF1F2面积的最大值S=
，故①错误；
②∵P，Q在椭圆上，F1、F2为椭圆左、右焦点
∴△PF1Q的周长为2a+2a=4a，
∵a=2
∴△PF1Q的周长为8，
故②正确；
③斜率存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为：y=k（x-
）
代入椭圆方程
+y2=1得：(1+4k2)x2-8
k2x+12k2-4=0
∴x1+x2=
，x1x2=
根据椭圆的第二定义可得：
=
，
=
∴|PF2|=a-ex1，|QF2|=a-ex2
∴
=
+
=
+
=
=
∵a=2，e(x1+x2)=
×
=
，ae(x1+x2)=
，e2x1x2=
×
=
∴
=4
当斜率不存在时，|PF2|=|QF2|=
，∴
=4，故③正确；
④∵定点A(
，
)在椭圆
+y2=1的内部，点P（x，y）为椭圆
+y2=1上一点，
∴|
|+|
|=|
|+(2a-|
|)=2a+(|
|-|
|)
当且仅当P、A、F1三点共线时，|
|-|
|取得最小与最大，|
|+|
|取得最小与最大．
∵A(
，
)，F1(-
，0)
∴|AF1|=
∴|
|+|
|的取值范围为[4-
，4+
]，故④正确
故答案为：②③④
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
②∵P，Q在椭圆上，F1、F2为椭圆左、右焦点
∴△PF1Q的周长为2a+2a=4a，
∵a=2
∴△PF1Q的周长为8，
故②正确；
③斜率存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程为：y=k（x-
| 3 |
代入椭圆方程
| x2 |
| 4 |
| 3 |
∴x1+x2=
8
| ||
| 1+4k2 |
| 12k2-4 |
| 1+4k2 |
根据椭圆的第二定义可得：
| |PF2| | ||
|
| c |
| a |
| |QF2| | ||
|
| c |
| a |
∴|PF2|=a-ex1，|QF2|=a-ex2
∴
| |PF2|+|QF2| |
| |PF2|•|QF2| |
| 1 |
| |PF2| |
| 1 |
| |QF2| |
| 1 |
| a-ex1 |
| 1 |
| a-ex2 |
=
| 2a-e(x1+x2) |
| (a-ex1)(a-ex2) |
| 2a-e(x1+x2) |
| a2-ae(x1+x2)+e2x1x2 |
∵a=2，e(x1+x2)=
| ||
| 2 |
8
| ||
| 1+4k2 |
| 12k2 |
| 1+4k2 |
| 24k2 |
| 1+4k2 |
| 3 |
| 4 |
| 12k2-4 |
| 1+4k2 |
| 9k2-1 |
| 1+4k2 |
∴
| |PF2|+|QF2| |
| |PF2|•|QF2| |
当斜率不存在时，|PF2|=|QF2|=
| 1 |
| 2 |
| |PF2|+|QF2| |
| |PF2|•|QF2| |
④∵定点A(
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
∴|
| PA |
| PF2 |
| PA |
| PF1 |
| PA |
| PF1 |
当且仅当P、A、F1三点共线时，|
| PA |
| PF1 |
| PA |
| PF2 |
∵A(
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴|AF1|=
| 7 |
∴|
| PA |
| PF2 |
| 7 |
| 7 |
故答案为：②③④
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