设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )-1,1-1,1,3 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)

(A)1,3 (B)-1,1

(C)-1,3 (D)-1,1,3

【答案】

A

【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.

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设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知b_n＞0（n∈N^*），a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃，S₅=5（T₃+b₂）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-3，则f（-2）=

设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f(

f(x2)成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
（1）试判断f（x）=x²是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=1，2，3…m且a₀=0，a_m=2m，记∫=a₁+a₂+a₃+…+a_m，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．

（2012•福州模拟）设函数f（x）=

（x∈Z）．给出以下三个判断：①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1．
其中正确判断的序号是

（填写所有正确判断的序号）．

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】第一问利用的定义域是

由x>0及得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是

第二问中，若对任意不等式恒成立，问题等价于只需研究最值即可。

解：（I）的定义域是．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函数的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是．．．．．．．．4分

（II）若对任意不等式恒成立，

问题等价于，．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，

故也是最小值点，所以；．．．．．．．．．．．．6分

当b<1时，；

当时，；

当b>2时，；．．．．．．．．．．．．8分

问题等价于．．．．．．．．11分

解得b<1 或或即，所以实数b的取值范围是