Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知b_n＞0（n∈N^*），a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃，S₅=5（T₃+b₂）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：

b1

T1T2

+

b2

T2T3

+…+

bn

TnTn+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项与求和公式，求出公差与公比，即可求得结论；
（Ⅱ）利用裂项法，即可求数列的和．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，则
∵a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃，S₅=5（T₃+b₂），
∴q²=d，1+2d=1+2q+q²，
∴q²-2q=0，
∵q≠0，∴q=2，∴d=4
∴a_n=4n-3，b_n=2^n-1；
（Ⅱ）∵

bn

TnTn+1

=

bn+1

qTnTn+1

=

1

q

（

1

Tn

-

1

Tn+1

）
∴

b1

T1T2

+

b2

T2T3

+…+

bn

TnTn+1

=

1

q

（

1

T1

-

1

T2

+

1

T2

-

1

T3

+…+

1

Tn

-

1

Tn+1

）
=

1

q

（

1

T1

-

1

Tn+1

）=

1

q

（1-

2

2n+1-1

）．

点评：本题考查了等差与等比数列的综合计算，考查裂项法的运用，属于中档题．