Question

（2012•福州模拟）设函数f（x）=

1+(-1)x

2

 （x∈Z）．给出以下三个判断：①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1．
其中正确判断的序号是

①②③

（填写所有正确判断的序号）．

Answer 1

分析：由题意可得，f（x）=

1+(-1)x

2

=

1， x为偶数 0，x为奇数

，检验f（-x）=f（x），即可判断①
由于f（x）的函数值是1，0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，可判断②
由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，可判断③

解答：解：∵f（x）=

1+(-1)x

2

=

1， x为偶数 0，x为奇数

∴f（-x）=

1+(-1)-x

2

=

1+ 1 (-1)x

2

=

1，x为偶数 0，x为奇数

=f（x），故f（x）为偶函数，①正确
由于f（x）的函数值是1，0交替出现，故函数是以2为周期的周期函数，②正确
由于x+1，x中必定一个是奇数，一个是偶数，则f（x+1）与f（x）的值一个是1，一个是0，则f（x+1）+f（x）=1，③正确
故答案为：①②③

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的定义、周期性的定义的应用，解题的关键是对已知函数的化简