Question

直线y＝mx(m＞0)与抛物线y＝－2x＋2交于A，B两点，在线段AB上有动点P，使|OA|，|OP|，|OB|的倒数成等差数列，求P点的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

解 设直线y＝mx的参数方程为(t为参数，tanα＝m)．∵m＞0，∴α为锐角．将代入y＝－2x＋2并整理得α－(2cosα＋sinα)t＋2＝0(*)．设(*)的两根为．动点P在直线上对应的参数为t，由得．∵A，P，B三点在原点O的上方，∴＞0，t＞0，＞0，，则t．设P(x，y)，则①×2＋②得2x＋y＝4即2x＋y－4＝0．又(*)的判别式Δ＝4＋4sinαcosα＋－α＞0，又α为锐角，化得tanα＞－2＋2．∴，∴0＜x＜．∴P点的轨迹方程是2x＋y－4＝0(0＜x＜)． 　　说明 用直线的参数方程中参数的几何意义应易获得线段间关系的数学表达式．凡用韦达定理寻求关系式，一般要考虑Δ＞0．本题中P点轨迹的范围往往被误以为是直线2x＋y－4＝0在抛物线内部的部分．