Question

如图J11­2①所示，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥DC，AB＝AE＝DC，F为EC的中点．现将△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如图J11­2②所示，且平面PAE⊥平面ABCE.

(1)求证：平面PAF⊥平面PBE；

(2)求三棱锥A­PBC与三棱锥E­BPF的体积之比．

图J11­2

Answer 1

解：(1)证明：连接BF，∵EF∥AB，且AB＝EF＝CD，

∴四边形AEFB为平行四边形．

又∵AE＝AB，且AE⊥DC，

∴四边形AEFB为正方形，∴AF⊥BE.

∵平面PAE⊥平面ABCE，且平面PAE∩平面ABCE＝AE，PE⊥AE，

∴PE⊥平面ABCE.又AF⊂平面ABCE，∴PE⊥AF.

又∵BE∩PE＝E，∴AF⊥平面PBE.

又∵AF⊂平面PAF，∴平面PAF⊥平面PBE.

(2)不妨设AB＝4，

则V_{三棱锥A  ­  PBC}＝V_{三棱锥P ­ ABC}＝××4×4×4＝，

V_{三棱锥E ­ BPF}＝V_{三棱锥P ­ EBF}＝××4×4×4＝.

故所求两个三棱锥的体积之比为1∶1.