Question

19．已知中心在坐标原点的椭圆C的一个顶点为（0，1），一个焦点为F（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l交椭圆C于A，B，交y轴于M，若$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，且$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的焦点在x轴上，设出椭圆方程，由椭圆的性质可知：b=1，c=2，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；
（2）设出A、B和C点的坐标，根据向量的坐标表示分别表示出$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，和$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，并将A和B的坐标代入椭圆方程，即可求得λ₁，λ₂是方程x2+10+5-5${y}_{0}^{2}$=0的两个根，
∴λ₁+λ₂=-10，由韦达定理即可求得λ₁+λ₂为定值．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
则由题知b=1，c=2，
a²=b²+c²=5，
故a²=5，
∴椭圆 C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$．
证明：（2）设A，B，M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
又知F点为（2，0）．
∵$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，
∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁）．
∴x₁=$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$．
将点A坐标代到椭圆方程得$\frac{1}{5}$（$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$）²+（$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$）²=1，故${λ}_{1}^{2}$+10λ₁+5-5${y}_{0}^{2}$=0．
同理，由$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，可得：${λ}_{2}^{2}$+10λ₂+5-5${y}_{0}^{2}$=0，
∴λ₁，λ₂是方程x2+10+5-5${y}_{0}^{2}$=0的两个根，
∴λ₁+λ₂=-10．
即λ₁+λ₂为定值-10．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查根与系数的关系，考查转化思想，推理能力与计算能力，属于中档题．