Question

如图，F₁，F₂是椭圆+y²=1的左、右焦点，M，N是以F₁F₂为直径的圆上关于X轴对称的两个动点．
（I）设直线MF₁、NF₂的斜率分别为k₁，k₂，求k₁•k₂值；
（II）直线MF₁和NF₂与椭圆的交点分别为A，B和C、D．问是若存在实数λ，使得λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|恒成立．若存在，求实数λ的值．若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据F₁，F₂是椭圆+y²=1的左、右焦点，可得以F₁F₂为直径的圆的方程，再求出直线MF₁的斜率、直线NF₂的斜率，即可求得k₁k₂的值；
（II）设直线MF₁、NF₂的方程代入椭圆方程，分别求得|AB|、|CD|，利用λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|，可得，由此可求实数λ的值．
解答：解：（I）∵F₁，F₂是椭圆+y²=1的左、右焦点
∴|F₁F₂|=2，F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=1
设M（x，y），则N（x，-y），且
∴直线MF₁的斜率为k₁=，直线NF₂的斜率为k₂=，
∴k₁k₂===1；
（II）设直线MF₁的方程为y=k₁（x+1），直线NF₂的方程为y=k₂（x-1）
将y=k₁（x+1）代入椭圆方程，消去y可得
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
∴|AB|==
同理|CD|==
∵λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|
∴=+=
∴实数λ的值为．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线斜率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．